Question

（08年沈阳二中四模）（12分） 已知函数的定义域为I，导数满足0＜＜2  且≠1，常数c₁为方程的实数根，常数c₂为方程的实数根．

（I）求证：当时，总有成立；

（II）若对任意，存在，使等式 成立．试问：方程有几个实数根，并说明理由；

（Ⅲ）（理科生答文科生不答）对任意，若满足，求证：．

 

Answer 1

解析:答：（I）令，∴函数为减函数．

又，∴当时，，即成立．．．．．．．．．4分

（II）假设方程有异于的实根m，即．则有

成立 ．

因为，所以必有，但这与≠1矛盾，因此方程不存在异于c₁的实数根．

∴方程只有一个实数根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（III）不妨设，为增函数，即．

又，∴函数为减函数，即．

，即．

，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（文）解答：（I）令，∴函数为减函数．

又，∴当时，，即成立．．．．．．．．．6分

（II）假设方程有异于的实根m，即．则有

成立 ．

因为，所以必有，但这与≠1矛盾，因此方程不存在异于c₁的实数根．

∴方程只有一个实数根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分