Question

过点（0，-1）的直线l与半圆C：x²+y²-4x+3=0（y≥0）有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为（　　）

• A．k=0或k=

  4

  3

• B．

  1

  3

  ≤k＜1
• C．k=

  4

  3

  或

  1

  3

  ≤k＜1
• D．k=

  4

  3

  或

  1

  3

  ≤k≤1

Answer 1

分析：通过圆的方程，求出圆心与半径，结合图形，根据有且只有一个交点，求出直线l的斜率k的取值范围，利用圆心到直线的距离对于半径求出切线的斜率，即可得到斜率k的取值范围．

解答：解：由已知中可得圆x²+y²-4x+3=0（y≥0）的圆心坐标为M（2，0），半径为1，
过点（0，-1）的直线l与半圆C：x²+y²-4x+3=0（y≥0）有且只有一个交点，夹在两条红线之间的斜率k的范围，以及切线时直线的斜率．
（0，-1）与（3，0）连线的斜率为：

1

3

，
（0，-1）与（1，0）连线的斜率为：1，
红线之间的直线的斜率范围是

1

3

≤k＜1．
相切时l：y=kx+1，
圆心到直线的距离为：

|2k+1|

1+k2

=1，
解得k=

4

3

或k=0（舍去）
故选C．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中联立直线方程，用△判断方程根的个数，进而得到直线与圆交点的个数，是解答本题的关键．