Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（I）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A₁C₁-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形中位线的性质，证明B₁C∥ED，利用线面平行的判定，可得B₁C∥平面A₁BD；
（II）证明A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，利用线面垂直的判定，即可得出结论；
（III）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
解答：（I）证明：连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）证明：∵AC₁⊥平面ABD，∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
（III）解：由上问知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB₁=1，则显然B、D、A₁、C₁各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A₁C₁-D的大小为．…（12分）
点评：本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．