Question

17．若函数f（x）=（log_ax）²-2log_ax（a＞0且a≠1）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上为减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，1）∪（1，2]
• B． （0，1）∪（2，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法，分类讨论，结合函数的单调性，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设log_ax=t，则f（x）=g（t）=t²-2t，对称轴为t=1，
当a＞1时，t=log_ax递增，故g（t）=t²-2t在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上递减，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，故t=log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，故log_a2≤1=log_aa，故a≥2；
当0＜a＜1时，t=log_ax递减，故g（t）=t²-2t在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上递增，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，故t=log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，故log_a2≥1=log_aa，故a≥2，不合
综上得，a≥2．
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性，考查换元法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．