Question

设函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-

1

2

，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数f'（x），写出切点（1，-b），求出斜率f'（1），由切线方程得：f‘（1）=0且f（1）=-

1

2

，得到a，b的方程组，解出a，b．
（2）求出f’（x），再对a分a≤0，a＞0来讨论．a≤0时f'（x）＜0，得f（x）在x＞0上是减函数，无最大值；
当a＞0时，分别求出增区间和减区间，判断极值点，根据在开区间内，极值也是最值，从而得出结论．

解答：解：（1）函数f（x）=alnx-bx²的导数f'（x）=

a

x

-2bx，
又f（1）=-b，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-

1

2

，
所以f'（1）=0，f（1）=-

1

2

即a-2b=0，b=

1

2

⇒a=1，b=

1

2

，
故实数a，b的值为a=1，b=

1

2

．
（2）因为b=1，所以f（x）=alnx-x²（x＞0），f'（x）=

a

x

-2x，
①当a≤0时，因为x＞0，所以f'（x）＜0即f（x）在x＞0是减函数，所以函数无最大值；
②当a＞0时，f'（x）＞0得x2＜

a

2

⇒-

a 2

＜x＜

a 2

，但x＞0，所以增区间为（0，

a 2

），
f'（x）＜0得x2＞

a

2

⇒x＞

a 2

或x＜-

a 2

，但x＞0，所以减区间为（

a 2

，+∞）．
所以f（x）在x=

a 2

处取得极大值，且为aln

a 2

-

a

2

=

a

2

(ln

a

2

-1)．
又x＞0时极大值也为最大值，即最大值为

a

2

(ln

a

2

-1)．
综上可得：a≤0时，f（x）无最大值；a＞0时，f（x）的最大值为

a

2

(ln

a

2

-1)．

点评：本题考查了导数的综合运用：求在切点处的切线方程和求函数的单调区间和极值以及最值，是一道导数的综合题，同时也考查了分类讨论的重要数学思想，同学应当掌握．本题属于中档题．