Question

已知复数z=1+

2i

1-i

，则1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸的值为（　　）

A．1+i

B．1

C．i

D．-i

Answer 1

分析：先进行复数的除法运算分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到最简形式，再总结规律1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸=1+502（i+i²+i³+i⁴），根据虚数单位的性质求出其结果．

解答：解：∵z=1+

2i

1-i

=1+

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=1+

-2+2i

2

=i，
∵根据虚数的单位可以知道i+i²+i³+i⁴=0
又2008÷4=502
∴1+z+z²+…+z²⁰⁰⁸=1+502（i+i²+i³+i⁴）
∴原式=1+502×0
=1．
故选B．

点评：本昰考查复数的代数形式的混合运算，考查虚数单位的性质，本题解题的关键是看出要求的代数式中具有的周期性，解题时要仔细解答，注意合理地进行等价转化，本题是一个基础题．