Question

设正四棱锥P-ABCD的侧面积为8

5

，若AB=4．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求直线PB与平面PAC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，取BC的中点E，连接PO，PE，OE．由正四棱锥的性质和四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

PO•S正方形ABCD即可得出．   
（2）利用正四棱锥的性质和线面垂直的判定定理即可得出BO⊥平面PAC，因此∠BPO就是直线PB与平面PAC所成的角．

解答：解（1）连接BD交AC于O，取BC的中点E，连接PO，PE，OE，
由正四棱锥可得PO⊥底面ABCD，PE⊥BC，可得PO⊥OE．
则4×

4PE

2

=8

5

，PE=

5

，PO=

PE2-OE2

=1．
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

PO•SABCD=

16

3

．          
（2）在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD，∴BO⊥PO．又BO⊥AC．
∴BO⊥平面PAC，所以∠BPO就是直线PB与平面PAC所成的角．                                         
在Rt△POB中，tan∠BPO=

OB

PO

=2

2

，
∴直线PB与平面PAC所成角的大小为arctan2

2

．

点评：本题考查了正四棱锥的性质与体积、线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．