Question

如图，在正四棱锥S-ABCD中，AB=，SA=10，M、N、O分别是SA、SB、BD的中点．
（1）设P是OC的中点，证明：PN∥平面BMD；
（2）求直线SO与平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC内是否存在一点G，使NG⊥平面BMD，若存在，求线段NG的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间坐标系，根据题意求出平面BMD的法向量，因为，进而得到线面平行．
（2）由（1）可得平面BMD的法向量，再求出直线OS所在的向量，利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，再转化为线面角．
（3）若存在点G，设G点坐标为（x₁，y₁，0），结合题意可得：，即可求出点G的坐标，再检验点G的坐标满足题意，进而求出NG的长度．
解答：解：（1）以点O为原点，分别为OB、OC、OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，

又因为，
所以，
又∵直线PN不在平面BMD内
∴PN∥平面BMD．   …（4分）
（2）设直线SO与平面BMD所成角为θ，
所以sinθ=，
∵．…（8分）
（3）若存在点G，设G点坐标为（x₁，y₁，0），

所以点G坐标为…（10分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABC的内部区域可表示不等式组：，
经检验点G的坐标满足上述不等式组．

故在△ABC内存在一点G，使NG⊥平面BMD，且NG=…（12分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定以及直线与平面垂直的判定，夹角此类问题的关键是熟练掌握直线与平面夹角的定义，及空间线线、线面垂直关系之间的互相转化，或者建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决问题．