Question

如图所示，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，点P是AD₁上的动点．
（1）当P为AD₁的中点时，求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值；
（2）求PB₁与平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值．

Answer 1

分析：（1）解法一：过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连接B₁E，则PE∥AA₁，可得∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角，在Rt△B₁PE中，利用余弦函数可求异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值；
解法二：以A₁为原点，A₁B₁所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，故∠B₁PA₁是PB₁与平面AA₁D₁所成的角且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，当A₁P最小时，tan∠B₁PA₁最大，由此可得结论．

解答：（1）解法一：过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连接B₁E（如图），则PE∥AA₁，
∴∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角．
在Rt△AA₁D中，∵∠AD₁A₁=60°，∴∠A₁AD₁=30°，

∴A₁B₁=A₁D₁=

1

2

AD₁=2，A₁E=

1

2

A₁D₁=1．
又PE=

1

2

AA₁=

3

．
∴在Rt△B₁PE中，B₁P=

5+3

=2

2

，
cos∠B₁PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

．
∴异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值为

6

4

．
解法二：以A₁为原点，A₁B₁所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A₁（0，0，0），A（0，0，2

3

），B₁（2，0，0），P（0，1，

3

），∴

A1A

=（0，0，2

3

），

B1P

=（-2，1，

3

），
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A || B1P |

=

6

4

∴异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值为

6

4

．
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，
∴∠B₁PA₁是PB₁与平面AA₁D₁所成的角且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，
当A₁P最小时，tan∠B₁PA₁最大，这时A₁P⊥AD₁，由A₁P=

A1D1•A1A

AD1

=

3

，得tan∠B₁PA₁=

2 3

3

，
即PB₁与平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值为

2 3

3

．

点评：本题考查线线角，考查线面角，解题的关键是正确作出线线角与线面角，属于中档题．