Question

定义F（x，y）= y^x  （x>0，y>0）．

（Ⅰ）设函数f（n）=  （n∈N*），求函数f（n）的最小值；

（Ⅱ）解关于x的不等式F（2，x a -1）≤（a -1）²；

（Ⅲ）设g（x）=F（x,2），正项数列{a_n}满足：a₁=3，g（a _n+1）= ，求数列{ a_n}

的通项公式，并求所有可能的乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）f（n）= ,

因为2n²-（n+1）²=（n-1）²-2，

当n≥3时，（n-1）²-2>0，所以当n≥3时f（n+1）>f（n）；

当，n<3时，（n-1）²-2<O，所以当n<3时f（n+1）<f（n）．

所以当n=3时f（n）取到最小值为f（3）=

（Ⅱ）原不等式等价于不等式组即

（i）当a>1时，2<a+1<2a，原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}．

（ii）当a=l时，2a=a+1=2，原不等式的解集是空集．

（iii）当a<1时，2a<a+1<2，原不等式的解集为{x|a+1<x≤2}．

综上，a>1时，原不等式的解集是（a+1，2a）；a=1时，原不等式的解集是；

a<l时，原不等式的解集是（a+1，2）．

（Ⅲ）因为g（x）=2^x,所以g（a_n+1）= ,又g（a_n+1）= = ,

所以a_n+1=3a_n.又a₁=3, 所以数列{a_n}是首项a₁=3，公比为3的等比数列，

所以a_n=3?3 ^n-1=3 ⁿ.

记数列{3 ⁿ}的所有可能的乘积（1≤i≤j≤n）的和为S，则

S=a₁?a₁+（a₁+a₂） ?a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n） ?a_n

= 3?3¹+（3+3²） ?3²+…+（3+3²+…+3ⁿ） ?3ⁿ

=

= +

=

=

解法二：（Ⅰ）由f（n）= ，计算得：

n	1	2	3	4	5	……
f(n)	2	1		1

据此猜想n=3时,f（n）取到最小值．

以下用数学归纳法证明n≥5时,n²<2 ⁿ成立．

（i）当n=5时，5²<2 ⁵，不等式成立．

（ii）假设n=k（k≥5）时不等式成立，即k²>2 ^k

那么2^k+1=2 ^k ?2>k² ?2 ,

因为k≥5,所以2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2>0.

所以2^k+1>（k+1）².即当n=k+1时，不等式也成立．

根据（i）和（ii）所述，对于所有n≥5，n∈N ^*，n²<2 ⁿ都成立．

结合上表可知猜想正确，即当n=3时f（n）取到最小值为f（3）=.

（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）同解法一，得a_n=3ⁿ.

由a_i?a_j=3ⁱ?3^j=3^i+j  （1≤i≤j≤n），列表如下：

记数列{3ⁿ}的所有可能的乘积（1≤i≤j≤n）的和为S，将这个“上三角形”表绕“对角线”对称地填在“下三角形”中，得到正方形数表：

记第一行的和为S₁，那么2S一（3²+3⁴+3⁶+…+3²ⁿ）=S₁（1+3+3²+…+3^n-1）.

所以2S =（3 ⁿ-1）（1+3+3²+…+3 ^n-1）+（9 ⁿ -1）,

所以S =

解法三：（Ⅰ）因为f（n）= ,设

由，

所以当时，<0，所以，在内单调递减；

当时，>0，所以，在内单调递增。

所以f（n）= 的最小值只可能在n=2或n=3处取到，

注意到f（2）=1,f（3）=,所以当n=3时,f（n）取到最小值为 f（3）=.

（Ⅱ）、（Ⅲ）同解法一．

解法四：（Ⅰ）同解法二，猜想n=3时, f（n）取到最小值．

证明如下：当n≥5时，

因为n≥5时，n-2≥3，

所以≥=1.

结合上表可知猜想正确，即当n=3时,f（n）取到最小值为f（3）= .

（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一。