Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°。

（1）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积；
（2）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）如图，设F为AC的中点，由于AD=CD， 所以DF⊥AC 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°= 在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC， 由勾股定理易知， 故四面体ABCD的体积。 （2）如图，设G，H分别为CD，BD的中点，则FG ∥AD，GH∥BC 从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 设E为边AB的中点，则EF∥BC， 由AB⊥BC，知EF⊥AB 又由（1）有DF⊥平面ABC， 故由三垂线定理知DE⊥AB 所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角 由题设知∠DEF=60°， 设AD=a，则DF=AD·sin∠CAD= 在Rt△DEF中，EF=DF·cot∠DEF= 从而 因Rt△ADF≌Rt△BDF，故BD=AD=a， 从而，在Rt△BDF中， 又， 从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为。