Question

【题目】设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前项和为，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．

① 求；

② 对于①中的，是否存在正整数、，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②存在符合题意的正整数对，它们为和．

【解析】

（1）求出等差数列的首项和公差即得数列的通项公式，由题得当时，，，相减即得的通项公式；

（2）①，再利用错位相减法求和得解；②假设存在正整数，使得，化简得，令，证明时，，列举得解.

（1）设数列的公差为，则由可得，

再由化简得：，解得：，∴，

当时，得：；当时，，，

两式相减得，∴．

（2）①，

，

设，

所以，

上面两式错位相减得，

所以

所以，

∴．

②假设存在正整数，使得，

代入化简得，即，

令，

则由可得：．

当时，，

∴，即，舍去；

当时，，舍去；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

综上：存在符合题意的正整数对，它们为和．