Question

已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为θ,与抛物线y²=-8x交于A,B两点.

(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;

(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程.

Answer 1

解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t²sin²α+2tsinα+8tcosα-7=0.

∵Δ=(2sinα+8cosα)²+28sin²α=48+8sin(2α+)＞0,

∴它的两根t₁,t₂为A、B对应的参数值.

(1)|PA|·|PB|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=.

(α≠kπ,否则直线与抛物线只有一个交点)

当sinα=±1时,|PA||PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.

(2)若P为中点,则t₁+t₂=0,

∴=0.

∴k=tanα=-4.

直线l的方程为4x+y+3=0.