Question

如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m＞0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若m为定值，求△AOB面积的最小值；
（3）若∠AOB=，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线AB方程为：x=ky+m，抛物线方程为：y²=2px（p＞0），由 得，y²-2pky-2pm=0，再由韦达定理能够导出抛物线方程；
（2）由=，能够导出△AOB面积的最小值；
（3）==，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）设直线AB方程为：x=ky+m，抛物线方程为：y²=2px（p＞0），
由 得，y²-2pky-2pm=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有，
由题意，|-2pm|=2m⇒2p=2，
故所求抛物线方程为：y²=2x；
（2）
=
=m．
（3）=
=，
∴，
∴．
点评：本题考查抛物线方程的求法，求△AOB面积的最小值和求实数m的取值范围．解题时要认真审题，仔细挖掘题设中的隐含条件，灵活运用抛物线的性质，合理地进行等价转化．