Question

【题目】已知函数对于任意的，都有，当时，，且．

（1）求，的值；

（2）当时，求函数的最大值和最小值；

（3）设函数，判断函数g(x) 最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）当 时，函数最多有4个零点.

【解析】

（1）观察表达式可知函数为抽象函数，可给赋具体值，令和即可求得；

（2）可先求证函数的单调性，结合时，，证明函数为减函数，再采用赋值法和函数单调性即可求解最值；

（3）令代入，可证函数为奇函数，化简得，再结合奇偶性和增减性即可判断函数的零点个数和参数取值范围

（1）令得，得.

令，，得，解得．

(2)任取且，则，

因为，即，

令 则.

由已知时，且，则，

所以 ，，

所以函数在R上是减函数，

故在单调递减.

所以，

因为，

，

故，.

(3) 令代入，

得，

所以，故为奇函数.

∴

=

=

，

令，即

因为函数在R上是减函数，

所以，即，

所以当 时，函数最多有4个零点.