Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．

Answer 1

（1）设点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），
则

n m+1 =- 1 2 2• m-1 2 - n 2 +3=0

，
解得

m=- 9 5 n= 2 5

，
则A（-

9

5

，

2

5

）
∵|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
∴a=

2

，c=1，b=

2-1

=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．

（2）设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 20

2

+

y

20

=1，切线AM、BM方程分别为x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切线AM、BM都经过点M（x₀，y₀），
∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1．
∴直线AB方程为x₀x+y₀y=1，
∴P(0，

1

y0

)、Q(

1

x0

，0)，
|PQ|2=

1

x 20

+

1

y 20

=(

1

x 20

+

1

y 20

)(

x 20

2

+

y

20

)=

1

2

+1+

x 20

2 y 20

+

y 20

x 20

≥

3

2

+

2

=(

2 +1

2

)2，
当且仅当

x

20

=

2

y

20

时，上式等号成立．
∴|PQ|的最小值为

2+ 2

2

．