Question

【题目】如图，某几何体中，四边形是边长为的正方形， 是直角梯形， 是直角， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， .

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析： 因为， ，可证平面，从而证明平面平面； 由得到，又因为四边形为正方形，所以又，以为原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，将求二面角问题转化为求两向量夹角。

解析：（1）因为， ， ， 平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为平面平面，平面平面，

， 平面，

所以平面.又平面，故.

而四边形为正方形，所以又，

以为原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系.

依题意易知： ， ， ， ， ，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，所以.

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，所以.

设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

则.