Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，（n∈N^*）在曲线上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求证：数列是等差数列，并求a_n；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足，设定b₁的值，使得数列{b_n}是等差数列；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）、将（n∈N^*）代入f（x）的表达式中即可求出为定值便证明了数列是等差数列，将a₁=1，d=4代入即可求出an的表达式；
（2）将（1）中求得的a_n的通项公式代入（2）中的公式便可求出T_n的表达式，进而求得bn的通项公式，根据b_n的通项公式即可证明b_n为等差数列；
（3）根据（1）中求得的a_n的通项公式先证明an≥（），即可证明数列a_n的前n项和（n∈N^*）．
解答：解：（1）由于，
∴
∴．
∴=1+4（n-1）
a_n²=，∵a_n＞0
∴a_n=（n∈N^*）…（3分）

（2），
，

则T_n=（4n-3）n=4n²-3n，n∈N^*，
∴b_n=8n-7，n∈N^*
又∵b_n+1-b_n=8
∴此时数列{b_n}是等差数列且b₁=1．…（6分）

（3）∵…（10分）
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．