题目内容
已知函数
，
（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（II）在区间
内至少存在一个实数
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】
（I）
；（II）
.
【解析】
试题分析：（I）先把
带入函数解析式，再对函数求导，然后求在已知点的切线的斜率和已知点的坐标，再由点斜式求切线方程；（II）法1：先求函数的导函数，得导函数为0时的根值，讨论根值在区间
的内外情况，判断原函数在区间的单调性，从而让原函数在区间上的最小值小于0，解得
的取值范围.法2：把
利用分离变量法分离，构造新的函数，利用导数求新函数在区间上的最小值，让小于最小值就是的取值范围．
试题解析：（I）当
时，
，
， 2分
曲线
在点
处的切线斜率
，
所以曲线在点处的切线方程为． 6分
（II）解1：
7分
当
，即
时，
，
在
上为增函数，
故
，所以
，
，这与矛盾 9分
当
，即
时，
若
，
；若
，
，
所以
时，取最小值，因此有
，即
，
解得
，这与矛盾；
12分
当
即
时，
，在上为减函数，所以
，所以
，解得，这符合．
综上所述，
的取值范围为．
15分
解2：有已知得：
，
8分
设
，
，
10分
，
，所以
在
上是减函数． 12分
，故的取值范围为
15分
考点：1、利用导函数求切线方程；2、导函数的性质；3、分离变量法.
练习册系列答案
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。
在区间[1，e]的最大值和最小值；
上，函数
的下方，求a的取值范围。
．
．
，
．