题目内容

若不等式2^x-log_ax＜0，当x∈（0， $数学公式$ ）时恒成立，求实数a的取值范围．

解：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0， $\text{[math]}$ ）时恒成立，
即函数y=log_ax的图象在（0， $\text{[math]}$ ）内恒在函数y=2^x图象的上方，而y=2^x图象过点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
由log_a $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，知0＜a＜1，
∴函数y=log_ax递减．
又∵ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴a≥（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
∴所求的a的取值范围是（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ≤a＜1．
分析：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0， $\text{[math]}$ ）时恒成立等价于函数y=log_ax的图象在（0， $\text{[math]}$ ）内恒在函数y=2^x图象的上方，由此能求出a的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．