Question

（本小题满分14分）
一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）
（1）证明：因为，，所以，即．
又因为，，所以平面．
因为，所以．………………………………………………………………4分
（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
…………………………………………6分
解得
所以，．………………………………………………………………………8分
以下给出求三棱锥体积的两种方法：
方法1：由（1）知，平面，
所以．………………………………………………………………10分
因为，，
所以，即．
其中，因为，，
所以．…………………………………………………13分
所以．…………………………………………………………………14分
方法2：因为，
所以．…………………10分
其中，因为，，
所以．…………………………………………………13分
所以．…………………………………………………………………………14分

解析