Question

定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．
已知向量列{

an

}是以

a1

=(1，3)为首项，公差

d

=(1，0)的等差向量列．若向量

an

与非零向量

bn

=(xn，xn+1)(n∈N*)垂直，则

x10

x1

=

 

．

Answer 1

分析：根据题目中所给的定义，写出向量列的表示式，可以横标和纵标分别看成等差数列写出通项，根据两个向量垂直，数量积为零，写出x_n与x_n+1之间的关系，根据要求的结论，本题需要用叠乘来解决．

解答：解：∵向量列{

an

}是以

a1

=(1，3)为首项，公差

d

=(1，0)的等差向量列．
∴

an

=（n，3）
∵向量

an

与非零向量

bn

=(xn，xn+1)(n∈N*)垂直，
∴

an

•

bn

=0
∴nx_n+3x_n+1=0，
∴

xn+1

xn

=-

n

3

，
∴

x10

x9

=-

9

3

，

x9

x8

= -

8

3

…

x2

x1

=-

1

3

把前面的式子相乘，得到

x10

x1

=-

9

3

×

8

3

×…×

1

3

=-

4480

243

．

点评：本题是一个新定义问题，考查学生的理解能力，是一个综合题，用到数列的通项，和求数列通项的方法，还有向量垂直的充要条件．解本题的关键是理解题意．