Question

【题目】已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、，求中点的纵坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据可求得的值，进而可求得抛物线的标准方程；

（2）设出、的坐标，设过点的直线方程为，利用圆心到该直线的距离等于圆的半径可得出关于的一元二次方程，进而得出、的斜率是该方程的两个根，列出韦达定理，再将方程代入抛物线的方程，求出点、的纵坐标，可得出点的纵坐标关于的函数解析式，利用函数的单调性可得出结果.

（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，

所以，，，解得，

因此，抛物线的方程为；

（2）设点、，

设过点的圆的切线方程为，则，

整理得，

设、的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，

由韦达定理得，，

将方程代入抛物线的方程得，

整理得，所以，，，

线段中点的纵坐标为，

函数在区间上为增函数，当时，，

，则，所以，.

因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是.