Question

如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (1) 求证：OD∥平面PAB (2) 当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小 (3) 当k取何值时，点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA． 　　又PA平面PAB，∴OD∥平面PAB． 　　方法二　∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O－xyz(如图所示)． 　　设AB=a，则A(，0，0)B(0，，0)C(－a，0，0)． 　　设OP=h，则P(0，0，h) 　　∵D为PC有中心， 　　∴=(－，0，h) 　　又=(，0，－h)，∴= 　　∴∥，∴OD∥平面PAB．
(2)	方法一　∵AB⊥BC，OA=OC 　　∴OA=OB=OC 　　又∵OP⊥平面ABC 　　∴PA=PB=PC 　　如图所示取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE 　　作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．又OD∥PA 　　∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF 　　在Rt△ODF中，sin∠ODF=＝ 　　∴PA与平面PBC所成的角为arcsin 　　方法二　∵k=，即PA=2a， 　　∴h=a．∴=(a，0，－a)． 　　可求得平面PBC的法向量，n=(1，－1，－)， 　　∴cos＜，n＞==． 　　设PA与平面PBC所成的角为θ， 　　则sinθ=｜cos(，n)｜=， 　　∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
(3)	方法一　由(2)知，OF⊥平面PBC 　　∴F是O在平面PBC内的射影 　　∵D是PC的中点 　　若点F是△PBC重心，则B、F、D三点共线 　　∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD 　　∵OB⊥PC，∴PC⊥BD 　　∴PB=BC，即k=1 　　反之，当k=1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥 　　∴点O在平面PBC内的射影为△PBC的重心 　　方法二　△PBC的重心G(－，．h) 　　∴=(－，，h) 　　∵OG⊥平面PBC，∴⊥ 　　又=(0，a，－h) 　　∴·=a2－h2=0 　　∴h=a 　　∴PA==a，即k=1 　　反之，当k=1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥 　　∴点O在平面PBC内的射影为△PBC的重心 　　点评：第(3)问中，由重心推出k=1，但这时k=1是重心的必要条件，而非充要条件，应注意检验．