Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=

6

，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，点O为AC的中点，AD=1，CD=3，PD=

3

．
（1）求证：BO⊥平面PAC
（2）证明：△PBC为直角三角形；
（3）求直线AP与平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先证BO⊥AC，再由面面垂直的性质定理，即可得证；
（2）证明1：先证明PD⊥平面ABC，在△PBC中，可得BC=

6

，PB=

6

，PC=2

3

，从而BC²+PB²=PC²．
证明2：先证明PD⊥平面ABC，再证明BC⊥BD，BC⊥PD，从而可得BC⊥平面PBD．
（3）建立空间直角坐标系，确定

AP

=(0，1，

3

)，以及平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答：解：法一：（1）证明：∵AB=BC，点O为AC的中点，∴BO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，
∴BO⊥平面PAC；
（2）证明：在Rt△BOC中，OC=

AC

2

=2，BO=

BC2-OC2

=

2

同理DO=1，BD=

DO2+BO2

=

3

，PC=

PD2+DC2

=2

3

∵PD⊥AC于点D，同（1）的证明可得到PD⊥平面ABC，
∵BD?平面ABC，∴PD⊥BD
在Rt△PBD中，PD=

3

，PB=

PD2+BD2

=

6

∵PC²=12=PB²+PC²，∴△PBC为直角三角形；
（3）以点O为坐标原点，以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-2，0），B(

2

，0，0)，C（0，2，0），P(0，-1，

3

)．
于是

AP

=(0，1，

3

)，

PB

=(

2

，1，-

3

)，

PC

=(0，3，-

3

)．
设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），
则

n• PB =0 n• PC =0.

即

2 x+y- 3 z=0 3y- 3 z=0.

取y=1，则z=

3

，x=

2

．
所以平面PBC的一个法向量为n=(

2

，1，

3

)．
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AP

，n＞|=

| AP •n|

| AP |•|n|

=

4

2• 6

=

6

3

．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

．
法二：
（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz，
则B(

2

，0，0)，C（0，2，0），P(0，-1，

3

)．
于是

BP

=(-

2

，-1，

3

)，

BC

=(-

2

，2，0)．
因为

BP

•

BC

=(-

2

，-1，

3

)•(-

2

，2，0)=0，
所以

BP

⊥

BC

．
所以BP⊥BC．
所以△PBC为直角三角形；
（2）由（1）可得，A（0，-2，0）．
于是

AP

=(0，1，

3

)，

PB

=(

2

，1，-

3

)，

PC

=(0，3，-

3

)．
设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），
则

n• PB =0 n• PC =0.

即

2 x+y- 3 z=0 3y- 3 z=0.

取y=1，则z=

3

，x=

2

．
所以平面PBC的一个法向量为n=(

2

，1，

3

)，
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AP

，n＞|=

| AP •n|

| AP |•|n|

=

4

2• 6

=

6

3

．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．