Question

如图，在矩形ABCD中，AB>·AD，E为AD的中点，连结EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，连结FC.设＝k，是否存在实数k，使△AEF、△ECF、△DCE与△BCF都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

假设存在实数k的值，满足题设．
①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.因为EF⊥EC，
所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.
而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.
故得.又DE＝EA，所以.
又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.
②再证明可以取到实数k的值，使△AEF∽△BCF，
由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，
因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BFC，
此时，有，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.
由△AEF∽△DCE，可知，
因此，AB²，所以，求得k＝.
可以验证，当k＝时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．