Question

19．如图AB是半圆O的直径，C，D是弧$\widehat{AB}$的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{ND}$=（　　）

• A． 18
• B． 8
• C． 26
• D． 35

Answer 1

分析 根据向量加法的三角形法则，把要求向量数量积的两个向量变化为两个向量和的形式，根据多项式乘法法则，展开代入向量的模长和夹角，得到结果．

解答 解：连接OC，OD，
∵C、D是弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠DOC=∠DOB=60°，
∵M、N是线段AB的三等分点，OA=6，
∴|$\overrightarrow{MO}$|=|$\overrightarrow{NO}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=6．
∵$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{ND}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{OD}$）
=$\overrightarrow{MO}$•$\overrightarrow{NO}$+$\overrightarrow{MO}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{NO}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$
=-4+2×6×$\frac{1}{2}$+2×6×$\frac{1}{2}$+6×6×$\frac{1}{2}$=26．
故选C．

点评 本题主要考查向量的三角形法则、向量的数量积、两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．