Question

如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为

a

2

（如图②），则图①中的水面高度为（　　）

• A．(1-

  3 7

  2

  )a
• B．

  7

  2

  a
• C．

  3 7

  2

  a
• D．（

  7

  2

  -1）a

Answer 1

分析：由图②可求得水的体积与大圆锥的体积比，进而得到无水的体积与大圆锥的体积比，再由图①可求得无水的小三棱锥的高于大三棱锥的高的比，进而求出答案．

解答：解：设已知圆锥、图②中含水的倒立小圆锥的底面半径分别为R、r，则

r

R

=

a 2

a

=

1

2

，
∴

V水

V三棱锥

=

1 3 πr2× a 2

1 3 πR2×a

=

1

8

．
设图①无水的圆锥的高度为h，含水的圆台的上底面的半径为r₁，则

h

a

=

r1

R

，
∴

V三棱锥-V水

V三棱锥

=

1 3 πr12h

1 3 πR2a

=

h3

a3

=

7

8

．∴

h

a

=

3 7

2

．
∴图①中水面的高度=(1-

3 7

2

)a．
故选A．

点评：求出无水的体积与大三棱锥的体积比及其体积比与高的比的关系是解题的关系．