Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）求f（$\frac{π}{3}$-x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程．
（3）先求出f（$\frac{π}{3}$-x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（$\frac{π}{3}$-x）的单调递减区间．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），它的最小正周期为 $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6π，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得函数f（x）的图象的对称轴方程为 x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
（2）f（$\frac{π}{3}$-x）=$\frac{1}{2}$sin[$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{3}$-x）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{12}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得4kπ-$\frac{7π}{6}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{6}$，
故函数f（$\frac{π}{3}$-x）的单调递减区间为[4kπ-$\frac{7π}{6}$，4kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于基础题．