Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
（I）证明数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
（II）求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）

Answer 1

解：（I）证明：因为a_n+1=2a_n+3a_n-1，所以a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
所以=3是常数，
所以数列{a_n+a_n+1}是以a₁+a₂=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得a_n+1+a_n=3ⁿ，…①，
又a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
得a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），（n≥2且n∈N^*）．
即=-1，常数，
所以数列{a_n+1-3a_n}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，…②，
解①②得，a_n=，
∴a₁+a₂+…a_n=（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
= （n∈N^*）．
分析：（I）利用a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1，推出是常数，即可证明数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
（II）利用（I）推出a_n+1+a_n=3ⁿ，然后说明数列{a_n+1-3a_n}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，求出a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，解出a_n，然后求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）
点评：本题考查等比数列的判断，数列通项公式的求法，考查转化思想，计算能力．