Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点．

(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

(Ⅲ)求B点到平面EAC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： (Ⅰ)　　　　　2分 　　　　 　　而　　　　　　　　　　　　　4分 　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ)连结、，取中点，连结，则， 　　∵平面，∴平面， 　　过作交于，连结， 　　则就是二面角所成平面角.　　　　　　　　　7分 　　由，则. 　　在中，　解得 　　因为是的中点，所以　　　　　　　　　8分 　　而，由勾股定理可得　　　　　　　　　9分 　　　　　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)连结，在三棱锥中， 　　　　　　　12分 　　　　　点到底面的距离， 　　则由，即　　13分 　　　求得 　　所以点到平面的距离是.　　　　　　　14分 　　解法二： 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)， 　　(0，2，1)，(0，0，2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分 　　∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，0)， 　　＝(0，2，1)，＝(2，4，0)，　　　　　　　　　　　　　　3分 　　(Ⅰ)　 　　又　　　　　　　　　　　　　5分 　　　 　　　　而 　　∴平面⊥平面.　　　　　　　　　　　　　7分 　　(Ⅱ)设平面的法向量 　　由即 　　∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　9分 　　平面的法向量＝(0，0，2)， 　　 　　所以二面角所成平面角的余弦值是.　　　11分 　　(Ⅲ)设点到平面的距离为， 　　＝(2，0，0)，=.　　　　　　　　　12分 　　则= 　　所以点到平面的距离是.　　　　　　14分