Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为

x=1-t y=2+ 3 t

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点，又点P的坐标为（1，2）．
求：（1）线段AB的中点坐标；
（2）线段AB的长；
（3）|PA-PB|的值．

Answer 1

分析：先将直线的参数方程化为

x=a+cosαl y=b+sinαl

（l为参数）的形式，此时，|l|的几何意义为（a，b）点到（x，y）的距离，（1）设点A对应的参数为l₁，点B对应的参数为l₂，将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理即可得l₁+l₂，而

l1+l2

2

即为AB中点对应的参数，代入参数方程可得中点坐标；（2）AB的长度即为AB参数差的绝对值，利用韦达定理代入求值即可；因为点P（1，2）在直线

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l₁与l₂异号，所以|PA-PB|的值即为l₁+l₂的绝对值，代入求值即可

解答：解：由题意可知，直线l的斜率为-

3

，倾斜角为

2π

3

∴直线l的参数方程可改写为

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

（l为参数，|l|的几何意义为（1，2）点到（x，y）的距离），
曲线C的普通方程为

x2

16

+

y2

9

=1，
将直线方程代入曲线C的方程可得，

57

4

l2+(32

3

-9)l-71=0，
设点A对应的参数为l₁，点B对应的参数为l₂，
∵△＞0，∴l1+l2=-

4(32 3 -9)

57

，l1l2=-

284

57

，
由参数l的几何意义得
（1）中点对应的参数为l=

l1+l2

2

=

18-64 3

57

，代入直线参数方程得

x=1- 1 2 × 18-64 3 57 = 48+32 3 57 y=2+ 3 2 × 18-64 3 57 = 6+3 3 19

∴线段AB中点坐标为(

48+32 3

57

，

6+3 3

19

)；
（2）弦AB的长为AB=|l₁-l₂|=

(l1+l2)2-4l1l2

=

( - 4(32 3 -9) 57 )2-4× (- 284 57 )

=

16

19

50-4 3

；
（3）∵点P（1，2）在直线

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l₁与l₂异号

∴|PA-PB|=||l1|-|l2||=|l1+l2|=

4(32 3 -9)

57

．

点评：本题考查了直线的参数方程，参数的几何意义及其应用，椭圆的参数方程及其与一般方程的互化，韦达定理在解决解析几何问题中的重要应用