Question

（2013•太原一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0b＞0)的离心率为

1

2

，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+

6

=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F_l MN面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由离心率为

1

2

，得

c

a

=

1

2

，根据圆与直线相切可得b=

6

1+1

，再由a²=b²+c²联立可解得a，b；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线l方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，则S△F1MN=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，代入韦达定理即可得关于m的函数表达式，恰当变形后，利用函数单调性求得其最大值及相应m值；

解答：解：（I）由题意得

e= c a = 1 2 b= 6 1+1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3 c=1

，
所以椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则点M、N的坐标是方程组

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

的两组解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以

△＞0 y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
所以S△F1MN=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3m2+4 m2+1

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

≤

12

4

=3（当且仅当m=0时取等号），
所以当m=0时，S_△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及直线和椭圆、圆的位置关系，考查三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力．