Question

用一个不平行于底面的平面去截圆锥，在圆锥内作大小两个球分别与圆锥和截面相切.证明截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点.

Answer 1

证明：

设两个球与平面π的切点分别为F₁、F₂，与圆锥相切于圆S₁、S₂，在截口的曲线上任取一点P，连结PF₁、PF₂，过P作母线交S₁于Q₁，S₂于Q₂.

于是PF₁和PQ₁是从P到上方球的两条切线，因此PF₁=PQ₁.

同理，PF₂=PQ₂.

∴PF₁+PF₂=PQ₁+PQ₂=Q₁Q₂.

由正圆锥的对称性，Q₁Q₂的长度等于两圆S₁、S₂所在平行平面间的母线段的长度，与P的位置无关.

∴截口椭圆的焦点是F₁、F₂，即截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点.