Question

已知F₁、F₂是椭圆方程=1的左、右焦点,在椭圆上存在一点P(P在第二象限),使得它到左、右准线的距离分别为6和12.

(1)求证:=0;

(2)求以椭圆的焦点为焦点,过点P的双曲线方程;

(3)(理)求线段PF₂的中垂线方程,它与(2)的双曲线是否存在交点?

Answer 1

答案：(1)证明:a=,b=,c=5,e=,|PF₁|=ed₁=,|PF₂|=ed₂=,

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|².

∴PF₁⊥PF₂,即=0.

(2)解：设双曲线方程为=1,由题意可得P(-3,4),∴2a=|PF₂|-|PF₁|=.∴a=5,

b=.

∴双曲线方程为=1.

(3)(理)解：线段PF₂的中垂线过线段PF₂的中点(1,2),斜率为2,故中垂线方程为y=2x.

由于它与双曲线的一条渐近线方程y=2x平行,故它与双曲线无交点.