Question

在直线y=-2取一点Q，过Q作抛物线x²=4y切点分别为A、B，则直线AB恒过的点是（　　）

A．（0，1）

B．（0，2）

C．（2，0）

D．（1，0）

Answer 1

分析：点A处的切线方程为y=-

1

2

x1x-y1，点B处的切线方程为：y=-

1

2

x2x-y2，点Q（t，-2）的坐标都满足这两个方程，代入得：-2=-

1

2

x1t-y1，-2=-

1

2

x2t-y2，则说明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都满足方程-2=-

1

2

xt-y，可得过定点．

解答：解：设Q（t，-2）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），抛物线方程变为y=

1

4

x2，
则y′=

1

2

x，则在点A处的切线方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
化简得：y=-

1

2

x1x-y1，
同理在点B处的切线方程为：
y=-

1

2

x2x-y2，
又因点Q（t，-2）的坐标都满足这两个方程，代入得：
-2=-

1

2

x1t-y1，-2=-

1

2

x2t-y2，
则说明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都满足方程-2=-

1

2

xt-y，
即直线AB方程为：y-2=-

1

2

tx，因此直线AB恒过的点是（0，2）
故选B

点评：本题为导数法求切线问题，解出过A、B点的切线方程，把点Q（t，-2）代入方程，可得A、B的坐标都满足的式子即是直线AB的方程，是解决本题的关键，属中档题．