Question

13．已知不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$对任意的实数x成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用基本不等式法求出函数的最值即可得到结论．

解答 解：∵不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$对任意的实数x成立，
∴m＞0．
∵$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$=$\frac{{x}^{2}+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$+$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$=$\sqrt{{x}^{2}+m}$+$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+m}•\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}}$=2$\sqrt{m}$，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+m}$=$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$，即x²+m=m，即x=0时取等号，
∴若不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$对任意的实数x成立，
则不等式2$\sqrt{m}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$恒成立，
则2m≥5+m，即m≥5，
即实数m的取值范围是[5，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求出最值是解决本题的关键．