Question

在△ABC中，已知sin(

π

2

+A)=

2 5

5

．
（1）求tan2A的值；   （2）若cosB=

3 10

10

，c=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据诱导公式化简已知条件，得到cosA的值，根据cosA的值大于0且A为三角形的内角，得到A为锐角，所以利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而求出tanA的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化为关于tanA的式子，把tanA的值代入即可求出值；
（2）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC与sin（A+B）相等，利用两角和的正弦函数公式化简sin（A+B），把各自的值代入求出sin（A+B）的值，即为sinC的值，再由c，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出a的值，然后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）由已知得：sin（

π

2

+A）=cosA=

2 5

5

，
因为角A是△ABC内角，且cosA＞0，则角A是锐角．
所以sinA=

1-cos2

A=

5

5

，tanA=

1

2

．（4分）
故tan2A=

2tanA

1-tan2A

=

4

3

．（6分）
（2）因为cosB=

3 10

10

，B为三角形的内角，所以sinB=

10

10

．（7分）
于是sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

1

5

3

10

+

2

5

1

10

=

2

2

．（9分）
因为c=10，由正弦定理，得a=

c•sinA

sinC

=2

10

．（11分）
故S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2

10

×10×

10

10

=10．（12分）

点评：此题综合考查了三角函数的恒等变形，三角形的面积公式，及正弦定理．熟练掌握同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式及两角和的正弦函数公式是解本题的关键．