题目内容

已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有x1x2=______，y1y2=______．
由题意可得焦点F的坐标为（
a
4
，0），设AB的方程为x=
a
4
+ky （这样设包括了直线斜率不存在的情况，不需讨论斜率），
把它代入抛物线方程可得y2-kay-
a2
4
=0，∴y1y2=-
a2
4
．
从而求得 x1x2=
y12
a
•
y22
a
=
a2
16
，
故答案为
a2
16
；-
a2
4
．
练习册系列答案
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已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ为直线AB的倾斜角）．
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ为直线AB的倾斜角）．
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有
1
|AF|
+
1
|BF|
=
4
a
4
a
．
已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求证y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1
m
+
1
n
=
2
p
．

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