Question

设函数f(x)＝ka^x－a^－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数；

(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；

(2)若f(1)＝，且g(x)＝a^2x＋a^－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值.

Answer 1

∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.

(1)∵f(1)＞0，∴a－＞0，

又a＞0且a≠1，

∴a＞1，f(x)＝a^x－a^－x，

而当a＞1时，y＝a^x和y＝－a^－x在R上均为增函数，

∴f(x)在R上为增函数，

原不等式化为：f(x²＋2x)＞f(4－x)，

∴x²＋2x＞4－x，即x²＋3x－4＞0，

∴x＞1或x＜－4，

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜－4}.

(2)∵f(1)＝，∴a－＝，

即2a²－3a－2＝0，

∴a＝2或a＝－(舍去)，

∴g(x)＝2^2x＋2^－2x－4(2^x－2^－x)＝(2^x－2^－x)²－4(2^x－2^－x)＋2，

令t＝2^x－2^－x(x≥1)，

则t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，

即h(x)≥h(1)＝.

∴p(t)＝t²－4t＋2＝(t－2)²－2，

∴当t＝2时，g(x)_min＝－2，此时x＝log₂(1＋)，

当x＝log₂(1＋)时，g(x)有最小值－2.