Question

【题目】设函数，．

（1）求的极值；

（2）设≤，记在上的最大值为，求函数的最小值；

（3）设函数（为常数），若使≤≤在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值．

Answer 1

【答案】(1) 当时，有极大值极小值；(2)；(3) ，.

【解析】

试题分析：(1)求函数的导数，由得，分区间列表讨论函数的符号与函数的单调性，可求函数的极值； (2) 由(1)知区间上单调递增，在区间上单调递减，分与分别求函数的最大值，再计算的最小值即可；(3),构造函数，求函数的导数，通过导数求函数的最小值，由得，又，所以，由的唯一性，可得，.

试题解析： (1)

∴当变化时，可以得到如下表格：

		0	—	0
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴当时，有极大值极小值，

(2)由(1)知区间分别单调增，单调减，单调增，

所以当时，，特别当时，有；

当时，，则，

所以对任意的，

（3）由已知得在上恒成立，

则

∴时，，时，，

故时，函数取到最小值.从而；

在上恒成立，则，

∴时，，时，，

故时，函数取到最小值.从而，

由的唯一性知，.