题目内容

F1，F2是双曲线的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（ ）的一部分．
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】分析：根据从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，可得△AQF1为等腰三角形，所以QF1=QA，再利用双曲线的定义，即可得到点P的轨迹为以O为圆心，以a为半径的圆，从而得解．
解答：解：由题意，设O为F1F2的中点，延长F1P交QF2于A，连接OP
据题意知△AQF1为等腰三角形，所以QF1=QA
∵|QF1-QF2|=2a
∴|QA-QF2|=2a
即AF2=2a
∵OP为△F1F2A的中位线
∴OP=a
故点P的轨迹为以O为圆心，以a为半径的圆
故选A．
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的定义，考查角平分线的性质，从而考查轨迹问题．
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1  (a＞0，b＞0)经过点A(
3
5
5
，
4
5
5
)，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的两个焦点，证明：AF1⊥AF2．
F1、F2是双曲线的两个焦点，双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则该双曲线的离心率为（　　）
A、
2
B、
3
C、2
2
D、2
3
7、F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为．
已知P是双曲线
x2
64
-
y2
36
=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为
33
33
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）过点A(
2
，0)，且离心率为
2
，设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P为双曲线上一点
（1）求双曲线的方程；
（2）若△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标．

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