Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）当a=1时，求使f（x）=

13

4

的x的值；
（2）求f（x）的最小值；
（3）关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]，知f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2，令t=2^x-2^-x，当a=1时，由f（x）=

13

4

得：t²-2t+4=

13

4

，由此能求出使f（x）=

13

4

的x的值．
（2）f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，t=2^x-2^-x，2^x-2^-x在x∈[-1，1]上单调递增，由此能求出f（x）的最小值．
（3）方程f（x）=2a 2 有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0，2a=t+

2

t

，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]，
∴f（x）=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²
=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2，
令t=2^x-2^-x，
当a=1时，由f（x）=

13

4

得：t²-2t+4=

13

4

，
解得t1=

1

2

，t2=

3

2

．
由2^x-2^-x=

1

2

，得x=log2(1+

17

)-2；由2x-2-x=

3

2

，得x=1，
∴x=1，或log2(1+

17

)-2．
（2）f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，
t=2^x-2^-x，2^x-2^-x在x∈[-1，1]上单调递增，
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]．
当a＜-

3

2

时，f（x）  min=f（-

3

2

）=2a²+3a+

17

4

，
当-

3

2

≤a≤

3

2

时，f（x）_min=a²+2，
当a＞

3

2

时，f（x）_min=f（

3

2

）=2a²-3a+

17

4

，
∴f（x）_min=

2a2+3a+ 17 4 ，a＜- 3 2 a2+2，- 3 2 ≤a≤ 3 2 2a2-3a+ 7 4 ，a＞ 3 2

．
（3）方程f（x）=2a 2 有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0，
∴2a=t+

2

t

，
∵t+

2

t

在（0，

2

）上单调递减，在（

2

，

3

2

）上单调递增
t+

2

t

≥2

2

，t+

2

t

为奇函数，∴当t∈（-

3

2

，0）时，t+

2

t

≤-2

2

，
∴a的取值范围是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．