题目内容

f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式的解集为     ．
【答案】分析：构造函数 h（x）=，由已知可得 x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数g（x）在（-∞，0）单调递减，又由已知可得函数 g（x）为奇函数，故可得 g（0）=g（-2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，结合图象可求．
解答：解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0
当x＜0时，，
令h（x）=，则h（x）在（-∞，0）上单调递减
∵h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x）
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递增，且h（0）=0
∵f（-2）=-f（2）=0∴h（-2）=-h（2）=0
h（x）＜0的范围为（-2，0）∪（2，+∞）
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）
点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数h（x）=，并根据已知求解出该函数的性质是解答本题的关键，体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
若函数f（x）和g（x）的定义域、值域都是R，则不等式f（x）＞g（x）有解的充要条件是（　　）
对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga
1x-a
（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．
（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|1≤x≤3}的四组函数如下：
①f（x）=x2-x+1，g（x）=3x-2
②f（x）=x3+x，g（x）=3x2+x-1
③f（x）=log2（x+1），g（x）=3-x
④f（x）=
3
2
sin（
π
3
x+
π
3
），g（x）=
1
4
cos
π
3
x-
3
4
sin
π
3
x
其中，函数f（x）印g（x）在D上为“密切函数”的是
①④
①④
．
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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