Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)．
（Ⅰ）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（Ⅱ）记f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式列出方程求出

sin( x 2 + π 6 )

，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值．
（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角A的范围，求出三角函数值的范围．

解答：解：（1）
∵

m

•

n

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

=1
∴sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

∵cos(

2π

3

-x)=-cos(x+

π

3

)=-[1-2sin2(

x

2

+

π

6

)]=-

1

2

（6分）

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0
∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

∴A∈(0，

2π

3

)
∵f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

∴f(A)=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

∵

A

2

+

π

6

∈(

π

6

，

π

2

)
∴sin(

A

2

+

π

6

)∈(

1

2

，1)
∴f(A)∈(1，

3

2

)（12分）

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围．