Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=n²+n，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式
（Ⅱ）已知b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=n²+n，∴a₁=S₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．n=1时也成立，
∴a_n=2n．
（II）证明：b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵数列$\{-\frac{1}{2n+1}\}$单调递增，∴$-\frac{1}{3}≤-\frac{1}{2n+1}＜0$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．