Question

如果a＞0，b＞0，求证：a³+b³≥a²b+ab².

Answer 1

证法一：(用分析法)

为了证明a³+b³≥a²b+ab²，

只要证明(a+b)(a²－ab+b²)≥ab(a+b).

∵a＞0，b＞0，有a+b＞0.

只要证明a²－ab+b²≥ab.

只要证明(a－b)²≥0，显然(a－b)²≥0成立.

∴a³+b³≥a²b+ab².

证法二：(用综合法)

∵(a－b)²≥0，∴a²－ab+b²≥ab.

又a＞0，b＞0，有a+b＞0.

∴(a+b)(a²－ab+b²)≥ab(a+b).

∴a³+b³≥a²b+ab².

证法三：(用比较法)

∵a³+b³－a²b－ab²=a²(a－b)+b²(b－a)=(a－b)(a²－b²)=(a+b)(a－b)²≥0，

∴a³+b³≥a²b+ab².

点评：运用分析法证明入手易，但证明过程书写困难，常用分析法探索证题途径，用综合法书写证明过程.