Question

用综合法或分析法证明：
（1）如果a＞0，b＞0，则lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

；
（2）求证：

6

-

5

＞2

2

-

7

．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式可得

a+b

2

≥

ab

＞0，再由y=lgx在（0，+∞）上增函数，从而有lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

．
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．

解答：（1）证明：∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

． …（3分）
（当且仅当a=b时，取“=”号） 即：

a+b

2

≥

ab

＞0． …（4分）
又 y=lgx在（0，+∞）上增函数，…（5分）
所以，lg

a+b

2

≥ lg

ab

=

lgab

2

=

lga+lgb

2

，故lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

成立．…（7分）
（2）证明：要证

6

-

5

＞2

2

-

7

，
只需证

6

+

7

＞2

2

+

5

，…（9分）
只需证：2

42

＞2

40

，只需证：42＞40．…（12分）
因为42＞40显然成立，所以 

6

-

5

＞2

2

-

7

．…（14分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，用分析法证明不等式，属于中档题．