Question

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；击中目标的概率分别是和，射击4次，相当于4次独立重复试验，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个事件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示最后两次射击一定没有射中，前三次射击最多一次没有射中，这几个事件之间是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
解答：解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A₁，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A₁）=1-P（）=1-=．
即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；
（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A₂，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B₂，
P（A₂）==，
P（B₂）==．
由于甲、乙设计相互独立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=•=．
即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；
（3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A₃，
“乙第i次射击为击中”为事件D_i，（i=1，2，3，4，5），
则A₃=D₅D₄（），且P（D_i）=，
由于各事件相互独立，
故P（A₃）=P（D₅）P（D₄）P（）P（）=×××（1-×）=，
即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是．
点评：本题考查排列组合问题的实际应用，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，可以作为解答题出现在试卷上．