Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，P是AC与BD的交点，M是CC的中点．

（1）求证：AP⊥平面MBD；

（2）求直线AM与平面MBD所成角的正弦值；

（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．

Answer 1

解：如图，以D为坐标原点，向量，，为

单位正交基向量，建立空间直角坐标系D—xyz．

则P(，，0)，M(0，1，)．

（1）=(－，，－1)，＝(1，1，0)，

＝(0，1，)，所以·＝0，·＝0．

所以⊥，⊥．

又因为BD∩DM＝D，所以AP⊥平面MBD；……………………………4分

（2）由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量．

又＝(－1，1，)，         ……………………………………………6分

所以cos<n，>＝＝－ ．

所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为．             ……………………9分

所以直线AM与平面MBD所成角的余弦值为．       ……………………………10分

 （3）=(0，1，0)，=(－1，0，)．

设n₁＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，则

 解得   即可取n₁＝(1，0，2)．  ………………12分

由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量．

所以cos< n，n₁>＝＝ ．                   ……………………………15分

所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．   ……………………………16分